유무디

지난 블로그에서는 합성함수의 미분과 연쇄법칙에 대하여 알아보았습니다.

2024.02.06 - [Programming/Deep Learning] - [Python/DeepLearning] #10.1. 역전파) 합성함수의 미분과 연쇄법칙

이번에는 수식을 통한 오차역전파법에 대하여 알아보도록 하겠습니다!

오차역전파법

가중치 매개변수에 대한 손실 함수의 기울기를 구하기 위해 이전에 경사하강법을 수치 미분을 이용해 구현해 보았습니다. 수치 미분은 단순하고 구현하기도 쉽지만 계산 시간이 오래 걸린다는 치명적인 단점이 있습니다. 이번에 배워볼 오차역전파법(Back Propagation)은 가중치 매개변수의 기울기를 효율적으로 계산시킬 수 있습니다.

비용함수(Cost Function) 미분의 어려움

 

최적의 가중치와 편향을 구할 수 있는 지표로써 비용함수(Cost Function)를 사용한다고 앞서 배웠습니다. 경사하강법을 이용하지 않고 가중치와 편향을 구해 볼 수도 있는데, 어떻게 해결하고, 왜 경사하강법을 사용해야 하는지 먼저 살펴보겠습니다. 이미지 입력을 예로 들어볼 텐데요, 3 X 4 형태의 이미지를 64개 입력한다고 생각해 보겠습니다.

• 입력층엔 12개의 데이터 (𝑥1 ~ 𝑥12)
• 은닉층에 3개의 유닛
• 출력층에 2개의 유닛

위의 규칙에서 비용함수로 제곱오차식을 이용한다고 생각하고, 64개의 이미지를 입력한다라고 예상 해 봤을 때 𝑘번째 이미지의 제곱오차값 𝐶를 𝐶𝑘로 두면 다음과 같은 식을 구할 수 있습니다.

 

위의 식에서 𝑡는 𝑘 번째 이미지의 정답 데이터, 𝑎는 신경망이 예측한 데이터입니다. 이를 학습 데이터 전체로 적용한다고 생각하면

라는 비용함수 𝐶𝑇를 얻을 수 있습니다. 하지만 비용함수 𝐶𝑇는 매우 복잡한 함수입니다. 결정해야 할 가중치와 편향은 47개나 있습니다. (입력값 12개 X 입력에 대한 유닛의 가중치 3개 + 각 유닛별 편향 3개) + ( 출력층으로 향하는 입력값 3개 X 출력층으로 향하는 가중치 2개 + 출력층의 편향 2개)

따라서 각 가중치와 편향을 결정하기 위한 미분 방정식 자체가 총 47개라는 이야기가 됩니다.

위의 방정식을 푸는 것은 매우 어렵기 때문에 경사하강법이 등장합니다.

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다시 살펴보는 경사하강법

 

다시 경사하강법을 정리해 보기 전 수학적으로 경사하강법을 정리해 보도록 하죠

미분 가능한 함수 𝑓(𝑥1,𝑥2,⋯,𝑥𝑛))에서 변수에 차례로 𝑥1+Δ𝑥1,𝑥2+Δ𝑥2,⋯,𝑥𝑛+Δ𝑥𝑛 이라고 작은 값을 더해 변화시켰을 때 함수 𝑓가 최솟값이려면 다음 함수가 성립합니다.

 

위 식을 가중치와 편향을 갖는 식에 대입해 봤을 때는 다음과 같이 정리가 가능합니다.

위의 식을 이용하면 컴퓨터에서 𝐶𝑇가 최솟값이 되는 가중치 및 편향을 계산할 수 있습니다. 좌변에 위치한 현재 매개변수의 위치에 우변에서 구현 변위 벡터를 더하면 새로운 위치가 구해진다고 볼 수 있는데요, 이를 매개변수들에 대한 행렬로 만들어 일반화시키면 다음과 같습니다.

 

위 계산식을 반복하여 최솟값이 되는 가중치와 편향을 계산한다고 보면 될 것 같습니다.

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미분지옥

 

다시 한번 경사하강법이 아닌, 일반적인 다변수 미분을 통해 살펴볼 것이 있습니다. 위의 예에서 47개의 파라미터가 존재하고, 이를 미분을 통해 구해야 한다고 이야기했는데요, 간단한 예로 성분 𝑤211의 기울기를 계산해 보겠습니다.

𝑘 번째 이미지에서 얻은 출력과 정답 데이터의 제곱오차식 𝐶𝑘에 대한 𝑤211의 기울기는 다음과 같이 구할 수 있습니다.

입력데이터를 넣었을 때 처음으로 만날 수 있는 가중치인 𝑤211을 구하는데도 어마어마한 식이 필요한 것 같습니다. 여기서 64번째 이미지까지의 𝑤211의 기울기를 구해보면 식은 다음과 같이 정리가 가능합니다.

 

위 식의 각 항마다 = 0을 붙여서 미분방정식으로 만들어 계산하면 편미분 결과를 가중치와 편향의 식으로 표현이 가능하겠죠?

항 하나하나의 계산은 단순하지만 여러 항을 한꺼번에 계산하려면 '미분 지옥'이라고 하는 미분의 복잡성과 방대함에 압도당하고 맙니다. 그래서 고안된 것이 오차역전파법(Back Propagation)입니다.

기울기 계산에 대한 단순화

상당히 복잡한 위 계산 과정에서 발견할 수 있는 특징이 있는데, 바로 기울기 성분은 학습 결과 하나하나의 단순한 합이라는 것입니다. 즉, 비용함수 𝐶𝑇의 편미분은 유닛마다 얻어낸 학습 결과 각각에서 얻은 미분의 합이라고 볼 수 있습니다! 즉, 가중치에 대한 기울기를 구하려면 제곱오차 𝐶의 편미분을 구한 결과에 학습 데이터를 대입한 후 학습 결과 전체를 더하면 64번의 편미분을 계산한 결과를 얻어낼 수 있다는 이야기입니다. 즉! 복잡해 보이는 위 수식에서 𝑎,𝑧 는 모두 우리가 구할 수 있는 상숫값 이라는 것입니다.

즉 𝐶𝑇의 편미분의 결과에 학습 데이터만 입력하면 실제 우리가 할 계산은 아래와 같이만 하면 된다는 이야기가 됩니다!

유닛의 오차(𝛿𝑙𝑗)

간단한 다변수 함수의 최솟값을 찾을 때는 제일 단순하고 쉽게 구할 수 있는 경사하강법이 효율적이지만, 변수와 파라미터가 함수와 복잡하게 얽혀 잇는 신경망이라면 경사하강법조차 계산하기 어려워져 그대로 사용할 수가 없게 됩니다. 미분 지옥에 빠져버린다는 뜻이죠, 그래서 등장한 것이 오차역전파법입니다.

오차역전파법은 복잡한 미분의 계산을 '수열의 점화식'으로 대체합니다. 이 점화식을 제공할 수 있는 것이 각 유닛의 오차(error)라고 불리는 변수 𝛿𝑙𝑗입니다. 제곱 오차 𝐶를 이용하여 정의하면 다음과 같습니다.

위의 식에서 𝑙은 레이어의 인덱스, 𝑗는 유닛의 인덱스를 의미합니다. 만약 2층 1번째 유닛의 오차와 3층 2번째 유닛의 오차를 구한다면 다음과 같이 구할 수 있겠습니다.

 

𝑧는 일단 입력값, 가중치와 편향을 통해 얻어진 값이라고 판단할 수 있습니다. 하지만 우리가 원하는 것은 언제나 비용함수(손실함수)의 값을 최소화할 수 있는 𝑤를 원하기 때문에, 손실함수 𝐶에 대한 𝑤를 계산하기 위해 다음과 같이 먼저 생각해야 합니다. 즉 ∂𝐶∂𝑤를𝛿𝑙𝑗로 표현하기 위한 과정을 지금부터 알아보겠습니다.

먼저 편미분의 연쇄법칙을 이용해 ∂𝐶∂𝑤211211를 알아보겠습니다.

 

여기서 𝑧2121은𝑧21=𝑤211𝑥1+𝑤212𝑥2+⋯+𝑏21이기 때문에 다음 식을 도출해 낼 수 있습니다.

 

위의 식을 모두 정리해 보면 다음과 같은 수식이 완성됩니다.

 

이것은 무엇을 의미할까요? 손실함수에 대한 가중치의 변화량을 구하기 위해서는, 현재 층의 오차에다가 이전 층에서 흘러들어오고 있는 우리가 알 수 있는 값을 곱했다는 것을 알 수 있습니다! 조금씩 오차역전파법에 다가서고 있습니다. 아직 끝이 아닙니다. 위의 식을 일반화 해보기 위해서 다른 유닛에 대한 내용도 알아보겠습니다. 이번엔 ∂𝐶∂𝑤311 (출력층)을 𝛿𝑖𝑗로 표현해 보겠습니다.

위의 식에서는 입력값인 𝑥1,𝑥2 같은 형태로 표현했지만, 유닛을 지나온 값이기 때문에 활성화 함수가 적용되어 𝑎1,𝑎2로 표현하면 𝑧31은 다음과 같이 표현 가능합니다.

 

아까와 비슷하게 ∂𝑧31∂𝑤311을 구해보면 그 결과는 𝑎21가 등장합니다. 최종적으로

 

로 정리가 가능합니다. 그렇다면 편향 𝑏는 어떨까요? 계산 과정은 똑같습니다. 그 결과 𝑏21,𝑏31의 편미분은 다음과 같아집니다.

 

편향 𝑏는 그 오차가 그대로 편미분 값으로 적용된다고 볼 수 있네요. 그렇다면 마지막으로 𝛿𝑙𝑗을 일반화 해보면 다음과 같이 정리가 됩니다.

 

위의 정리된 식에서 𝑙은 현재 층 인덱스, 𝑗는 다음 유닛의 인덱스, 𝑖는 이전 유닛의 인덱스를 의미합니다. 여기서 추가적으로 살펴봐야 할 사실은 𝛿𝑙𝑗와 𝛿𝑙+1𝑗의 관계에 대해서 알아볼 필요가 있습니다.

위의 일반화된 식의 의미는 유닛의 오차 𝛿𝑙𝑗만을 구하게 되면 경사하강법을 위한 비용함수 𝐶의 편미분도 한꺼번에 구할 수 있다는 이야기가 됩니다. 정리해 보겠습니다.

이어서 알아볼 내용은 무엇일까요? 신경망에서의 𝛿𝑙𝑗과 𝛿𝑙+1𝑗의 관계에서 𝛿𝑙𝑗을 구하는 오차역전파법을 실제로 다뤄 보는 것입니다!

오차역전파법은 유닛의 오차 𝛿𝑙𝑗의 점화식을 먼저 만들고, 해당 점화식에서 복잡한 미분 계산을 해결하는 방법입니다. 오차역전파법은 복잡한 미분 계산을 단순히 수열의 점화식으로 만들어 버린다는 점입니다. 이제 실제 신경망에서 오차역전파법을 적용시키는 방법에 대해 이야기해 보겠습니다.

오차역전파법은 𝑙층 𝑗번째 유닛이라고 할 수 있는 변수 𝛿𝑙𝑗을 정의합니다. 그리고 𝛿𝑙𝑗을 이용하면 제곱오차(손실함수)에 대한 기울기도 구할 수 있었는데요, 𝛿𝑙𝑗을 단순한 수열에 비유하면 정말 쉽게 말항(마지막 항)을 구해낼 수 있습니다.

수열 {𝛿𝑙𝑗}의 말항에 해당하는 오차, 즉 출력층의 오차를 구한다고 했을 때 세울 수 있는 식은 𝛿3𝑗(𝑗=1,2) 으로 설정하고 오차를 구해보도록 하겠습니다.

활성화 함수는 ℎ(𝑧)로 정의해 보도록 하겠습니다.

위 식에서 제곱오차 𝐶 및 활성화 함수에 대한 미분값 ℎ′(𝑧3𝑗)이 주어졌습니다. 이를 이용하면 손쉽게 말할에 해당하는 출력층 유닛의 오차도 구할 수 있습니다.

출력층의 층 번호를 𝐿로 일반화 해서 표현이 가능합니다.

그렇다면 신경망 유닛의 오차 𝛿31을 구해보겠습니다. 활성화 함수 ℎ(𝑧)는 시그모이드 함수𝜎(𝑧)로 하겠습니다. 제일 먼저 해야 할 일은 제곱오차 𝐶를 𝑎3131로 편미분 하는 것부터 시작합니다.

위 식을 유닛의 오차를 구하기 위한 식에 대입하면 다음과 같습니다.

𝛿32 역시 같은 방식으로 계산이 가능합니다.

여기서 시그모이드 함수를 미분했었던 공식을 적용시키면

 

으로 ℎ′(𝑧32)를 구체화시킬 수 있게 되고, 이를 최종적으로 적용시키면

 

식이 유도 됩니다. 위에서 유도된 식은 출력층에 대한 식입니다. 그렇다면 이전 층인 은닉층에 대한 𝛿𝑙𝑗은 𝛿𝑙+1𝑗과 간단한 관계식으로 연결되어 있기 때문에 𝛿𝑙+1𝑗을 이용해 𝛿𝑙𝑗을 구하는 것도 가능해집니다. 편미분의 연쇄 법칙을 이용해서 𝛿21에 대한 다음 식을 유도할 수 있습니다.

잘 살펴보면 출력층으로부터 제곱오차를 편미분 하여 이전에 흘러들어온 값(𝑎)에 대한 𝑧의 편미분 값을 연쇄법칙으로 구하고 있는 모습이 보입니다. 위를 부분별로 살펴보도록 하겠습니다. 먼저 ∂𝐶∂𝑧31과∂𝐶∂𝑧32은 𝛿 형태로 나타낼 수 있을 것 같습니다.

그다음∂𝑧31∂𝑎21와 ∂𝑧32∂𝑎21은 각각 다음처럼 구할 수 있습니다.

 

마지막 ∂𝑎21∂𝑧21는 활성화 함수 ℎ(𝑧)를 통해 다음처럼 구할 수 있습니다.

 

이제 마지막으로 정리를 해보면

 

으로 𝛿21을 나타낼 수 있습니다. 𝛿22 와 𝛿23도 똑같이 정리할 수 있습니다.

이제 2층과 3층의 관계를 일반화시켜 볼 수도 있을 것 같습니다.

 

로 확인 2층과 3층의 관계에 대해 이야기할 수 있습니다. 이는 다시 𝑙층과 그다음 층인 𝑙+1의 관계식으로 일반화할 수 있습니다.

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미분을 하지 않았다?

수식 (𝛿31𝑤31𝑖+𝛿32𝑤32𝑖)ℎ′(𝑧2𝑖)을 살펴보면 𝛿31과 𝛿32은 각각 𝛿31=(𝑎31−𝑡1)ℎ′(𝑧31)과 𝛿32=(𝑎32−𝑡2)ℎ′(𝑧32)에서 얻을 수 있는 것이 확인됩니다. 즉 수식 (𝛿31𝑤31𝑖+𝛿32𝑤32𝑖)ℎ′(𝑧2𝑖)을 이용하면 층 2의 𝛿2𝑖의 값을 미분하지 않고 구할 수 있다는 뜻이 됩니다.

이것이 바로 오차역전파법입니다! 출력층에 있는 유닛의 오차만 구하면, 다른 유닛의 오차는 편미분 할 필요가 없게 됩니다. 보통 층의 번호가 높은 방향에서 층의 번호가 낮은 방향으로 값을 정해나갑니다. 이는 순차대로 흘러가는 수열과 반대되기 때문에 역이라는 단어를 사용하게 되는 것입니다. 마지막으로 실제 계산 예를 확인해 보겠습니다. 𝛿22를 구한다고 가정하고, 활성화 함수는 시그모이드 함수𝜎(𝑧)를 사용해 보겠습니다.

위 과정에서 확인할 수 있듯이, 미분 없이 𝛿22를 구하였습니다.

넘나 어렵죠... 수식을 통해서 오차역전파법을 이해하는 것이 좋지만, 다음은 조금 더 쉽게 이해할 수 있는 그림을 통한 오차역전파법을 다시 알아보겠습니다!

앞서, 경사하강법을 위한 미분과 편미분을 알아보았습니다.

2024.01.29 - [Programming/Deep Learning] - [Python/DeepLearning] #9. 수치 미분과 경사하강법(상)

이에 이어, 경사법(경사하강법)의 원리와 신경망에서의 기울기에 대한 신경망 학습을 알아보도록 하겠습니다.

경사법(경사하강법)

머신러닝 문제 대부분은 학습 단계 "fit"에서 최적의 매개변수를 찾아냅니다.

신경망 역시 최적의 매개변수를 학습 시에 찾아야 하는데요, 이때의 매개변수는 가중치와 편향을 이야기합니다.

여기서 최적이란 손실 함수가 최솟값이 될 때의 매개변수 값을 의미하는데요, 일반적인 문제의 손실함수는 매우 복잡합니다.

왜냐하면 매개변수 공간(범위)이 광대하여 어디가 최솟값이 되는 곳인지를 알아내기가 힘들기 때문이죠.

이런 상황에서 손실 함수의 기울기를 잘 이용해 함수의 최솟값(또는 가능한 한 작은 값)을 찾으려는 방법이 경사 하강법 입니다.

여기서 미분이 활용됩니다! 각 지점에서 함수의 결괏값을 낮추는 방안을 제시하는 지표가 기울기이기 때문이죠. 하지만 어떤 특정 지점의 기울기가 가리키는 곳에 정말 함수의 최솟값이 있는지, 즉 그쪽으로 정말로 나아갈 방향인지는 보장할 수 없습니다.

실제로 복잡한 함수에서는 기울기가 가리키는 방향에 최솟값이 없는 경우가 대부분입니다.

주의할 점은 경사법은 기울기가 0인 장소를 찾지만, 그것이 반드시 최솟값이라고 할 수는 없습니다.

극솟값이나 안장점이 될 수도 있는데요, 찌그러진 모양의 함수라면 (사실 대부분이 찌그러진 함수) 함수의 그래프가 평평한 곳으로 파고들면서 고원이라고 하는, 학습이 진행되지 않는 정체기에 빠질 수가 있습니다.

즉, 기울어진 방향이 꼭 최솟값을 가리키는 것은 아니지만 그 방향으로 가야 함수의 값을 줄일 수 있습니다.

그래서 최솟값이 되는 장소를 찾는 문제에서는 기울기 정보를 단서로 나아가야 할 방향을 정해야 합니다.

경사법 원리

경사법은 현 위치에서 기울어진 방향으로 일정 거리만큼 이동합니다.

그런 다음 이동한 곳에서도 마찬가지로 기울기를 구하고, 또 그 기울어진 방향으로 계속 나아가기를 반복합니다.

이렇게 해서 함수의 결괏값을 줄이는 것이 경사법(gradient method) 입니다. 경사법은 머신러닝 모델을 최적화하는데 흔히 쓰이는 방법입니다. 특히나 저희가 해볼 신경망 학습에는 경사법을 많이 사용합니다. 경사법을 수식으로 나타내면 다음과 같습니다.

위의 식에서 𝜂(eta. 에타)는 갱신하는 양을 나타냅니다.

이를 신경망에서는 학습률(learning rate)라고 볼 수 있는데요. 한 번의 학습으로 얼마큼 학습할지, 즉 다음 지점을 얼마만큼 이동할지에 대한 거리가 됩니다. 위 식은 1회에 해당하는 갱신이고, 이 단계를 계속 반복합니다.

즉, 위 식 처럼 변수의 값을 갱신하는 단계를 여러 번 반복하면서 서서히 함수의 값을 줄이는 것입니다. 또 여기서는 변수가 2개인 경우를 이야기했지만, 변수가 늘어도 늘 같은 편미분 값으로 갱신하게 됩니다.

또한 학습률 𝜂 값은 미리 특정 값으로 고정시켜 놓아야 합니다. 0.01이나 0.001 같이 정해두게 되는데, 일반적으로 이 값이 너무 크거나 작으면 '좋은 장소'를 찾아갈 수 없습니다.

신경망 학습에서는 보통 이 학습률 값을 변경하면서 올바르게 학습하고 있는지를 확인하면서 진행합니다. 파이썬 코드로 위의 수식을 나타내 보겠습니다.

# 경사하강법 구현
# 편미분 대상 함수, 초기 x 좌표, lr, step_num, 
def gradient_descent(f, init_x, lr=0.01, step_num=100):
  x = init_x

  for _ in range(step_num):
    # step_num 만큼 반복 하면서 기울기 배열( 기울기 벡터 )를 구해서 x를 업데이트

    # 1. 기울기 배열을 구하자
    grad = numerical_gradient(f, x)
    
    x -= lr * grad
    print("기울기 : {} \t x 좌표 : {}".format(grad, x))
  return x

첫 번째 인수 f는 최적화할 함수, init_x는 초깃값, lr은 learning_rate로써 학습률, step_num은 경사법에 다른 반복 횟수를 뜻합니다.

함수의 기울기는 미분 함수 numerical_gradient로 구하고, 그 기울기에 학습률을 곱한 값으로 갱신하는 처리를 step_num번 for문을 통해 반복합니다.

이 함수를 사용하면 함수의 극솟값을 구할 수 있고 잘하면 최솟값을 구해볼 수도 있습니다.

gradient_descent(function_2, np.array([3.0, 4.0]), lr=0.1, step_num=100)

거의 0에 가까운 최솟값이 확인되었습니다.

실제로 진정한 최솟값은 (0, 0) 이므로 경사법으로 거의 정확한 결과를 얻었다고 볼 수 있겠습니다.

갱신 과정을 그림으로 나타내면 다음과 같습니다. 검사할 때마다 거의 원점에 가까워지는 것이 확인됩니다.

# coding: utf-8
import numpy as np
import matplotlib.pylab as plt

def gradient_descent(f, init_x, lr=0.01, step_num=100):
    x = init_x
    x_history = []

    for i in range(step_num):
        x_history.append( x.copy() )

        grad = numerical_gradient(f, x)
        x -= lr * grad

    return x, np.array(x_history)

init_x = np.array([-3.0, 4.0])    

lr = 0.1
step_num = 20
x, x_history = gradient_descent(function_2, init_x, lr=lr, step_num=step_num)

plt.plot( [-5, 5], [0,0], '--b')
plt.plot( [0,0], [-5, 5], '--b')
plt.plot(x_history[:,0], x_history[:,1], 'o')

plt.xlim(-3.5, 3.5)
plt.ylim(-4.5, 4.5)
plt.xlabel("X0")
plt.ylabel("X1")
plt.show()

학습률이 크거나 너무 작으면 좋은 결과를 얻을 수 없습니다... 두 경우를 실험해 보죠!

# 학습률이 너무 큰 예. lr = 10.0
init_x = np.array([-3.0, 4.0])
result, _ = gradient_descent(function_2, init_x=init_x, lr=10.0, step_num=100)
print("Learning Rate 10.0 : {}".format(result))


# 학습률이 너무 작은 예. lr = 1e-10
init_x = np.array([-3.0, 4.0])
result, _ = gradient_descent(function_2, init_x=init_x, lr=1e-10, step_num=100)
print("Learning Rate 1e-10 : {}".format(result))

하이퍼 파라미터인 learning rate를 적절하게 조절하는 것이 좋습니다! adam 같은 알고리즘은 이러한 learning rate도 적절하게 조절해 줍니다. (물리의 가속도 개념)

학습률이 너무 크면 큰 값으로 발산해 버리고, 반대로 너무 작으면 최솟값에 도달하지 않은 채 갱신이 거의 안되고 끝나버립니다.

이것이 학습률을 잘 조절해야 하는 이유입니다!

참고로 이런 학습률 같은 사람이 직접 지정해야 하는 매개변수를 하이퍼 파라미터 라고 합니다.

신경망에서의 기울기

신경망 학습에서의 기울기도 위와 마찬가지로 구할 수 있습니다. 여기서 말하는 기울기는 가중치 매개변수 W에 대한 손실함수의 기울기입니다.

• 신경망의 학습이란? 손실함수 (Loss)의 값을 최소화시키는 가중치 W와 편향 B를 구하는 것

따라서 가중치의 기울기 배열을 구할 수 있지 않을까?

• Loss에 대한 W의 미분값을 구하는 것
• W가 변했을 때 Loss는 얼마만큼 변할 것인가?

예를 들어 2 X 3 형태의 가중치를 만들고, 손실함수를 L로 정의한 신경망을 생각해 볼 수 있습니다. 이때 경사도는 ∂𝐿 / ∂𝑊로 나타 낼 수 있습니다. 수식으로 자세히 살펴봅시다!

∂𝐿 / ∂𝑊의 각 원소는 각각의 원소에 대한 편미분입니다. 

∂𝐿 / ∂𝑤11은 𝑤11을 조금 변경했을 때 손실함수 𝐿이 얼마나 변화하느냐를 나타낼 수 있습니다. 여기서 중요한 점은 ∂𝐿 / ∂𝑊의 형상(shape)이 𝑊와 같다는 것입니다. 둘 다 2 X 3 형태의 행렬인 것을 확인할 수 있습니다. 그럼 간단한 신경망을 예로 들어 실제로 기울기는 구하는 코드를 구해보도록 하겠습니다.

# 클래스로 하는 이유
# tf, keras, pytorch 등을 사용하면 보통 개발자가 직접 커스터마이징 하는 경우가 많습니다.
# 아주 기본적인 CNN, RNN (LSTM) 같은 것들은 그냥 쓰면 되는데, 실제 실무에서는 이런일이 많이 없습니다.
# 특정한 비즈니스에 맞춰서 레이어를 여러분들이 커스터마이징 하는 것이 필요합니다

class SimpleNet:
  
  # 신경망에서의 초기화는 필요한 매개변수를 준비하는 과정
  def __init__(self):
    self.W = np.random.randn(2, 3) # 정규분포로 초기화
    # 실제 신경망은 np.random.randn(2, 3) * 0.01 로 만드는 경우가 많습니다. (표준편차를 0.01로 설정)
  
  def predict(self, x):
    return np.dot(x, self.W)

  def loss(self, x, t):
    # loss를 구하는 과정

    # 1. 예측
    z = self.predict(x)

    # 2. softmax 통과
    y = softmax(z)

    # 3. loss함수를 이용해 실제 loss값 구하기
    loss = cross_entropy_error(y, t)

    return loss

SimpleNet 클래스의 객체를 생성하면 자동으로 2 X 3 형태의 가중치 배열을 랜덤으로 생성하게 됩니다.

그다음 예측을 수행하는 predict는 각 뉴런에서 객체가 만들어질 때 생성된 가중치 행렬 W와 데이터인 x의 내적을 구하고, loss 메소드 에서는 예측된 결과(predict)에 softmax 활성화 함수를 적용시키고 나서 해당 결과에 손실 함수인 cross_entropy_error를 이용해 손실값을 찾습니다. x는 입력 데이터, t는 정답 레이블입니다.

net = SimpleNet()

print("가중치 확인 : \n{}".format(net.W))

x = np.array([0.6, 0.9])
p = net.predict(x)

# 예측값은 몇개가 나오지?
print("단순 예측 값 : \n{}".format(p))

print("최댓값의 인덱스 : {}".format(np.argmax(p)))

# 임의의 정답을 마련하자
t = np.array([0, 1, 0]) # 정답은 1

net.loss(x, t)

Loss에 대한 기울기를 구하는 함수를 따로 만들어보도록 하겠습니다! numerical_gradient(f, x)를 써서 구하면 됩니다.

# Loss의 대한 W의 기울기를 구하기 위한 함수
def f(W):
  return net.loss(x, t)
 
# 기울기에 대한 Loss의 기울기 배열을 구할 수 있어요
dW = numerical_gradient(f, net.W)
dW

numerical_gradient(f, x)의 인수 f는 함수, x는 함수 f의 인수입니다. 그래서 가중치를 의미하는 net.W를 인수로 받아 손실 함수를 계산하는 새로운 함수 f를 정의하였습니다.

numerical_gradient에서는 함수 f와 net.W를 입력받아 가중치들에 대해 한꺼번에 기울기를 구합니다. dW는 numericalgradient의 결과로써, 2 X 3차원의 배열입니다. dW를 내용을 보겠습니다.

예를 들어 𝑤11에 위치한 0.12 정도의 값은 𝑤11의 값을 ℎ 만큼 늘리면 손실 함수의 값은 0.12ℎ 만큼 증가한다는 뜻이 됩니다.

마찬가지로 𝑤32는 대략 -0.47이니, 𝑤32를 ℎ만큼 늘리면 손실 함수의 값은 0.5ℎ만큼 감소한다고 볼 수 있습니다. 그래서 손실 함숫값을 줄인다는 관점에서 𝑤11은 음의 방향으로 갱신해야 하고, 𝑤32는 양의 방향으로 갱신해야 함을 알 수 있습니다.

또한 한 번에 갱신되는 양에는 𝑤32가 𝑤11보다 크게 바뀐다는 사실도 알 수 있죠 위 코드의 f(W)를 lambda 형태로 바꿀 수도 있습니다.

dW = numerical_gradient(lambda w : net.loss(x, t), net.W)
dW

Summary

신경망 학습에 대한 이야기는 여기까지면 충분합니다.

몇 가지 키워드로 정리해 보고, 다음 글에서 최종적으로 MNIST를 학습할 수 있는 신경망을 직접 구현하도록 해봅시다!

전제

신경망에는 적응 가능한 가중치와 편향이 있고, 이 가중치와 편향을 훈련 데이터에 적응하도록 조정하는 과정을 '학습'이라 합니다.

4 단계로 정리해 보겠습니다!

1단계 - 미니배치

훈련 데이터 중 일부를 무작위로 가져옵니다. 이렇게 무작위로 가져온 데이터들을 미니 배치라 하며, 그 미니배치의 손실 함숫값을 줄이는 것이 목표입니다.

2단계 - 기울기 산출

미니 배치의 손실 함숫값을 줄이기 위해 각 가중치 매개변수의 기울기를 구합니다. 기울기는 손실 함수의 값을 가장 작게 하는 방향을 제시합니다.

3단계 - 매개변수 갱신

가중치 매개변수를 기울기 방향으로 아주 조금씩 갱신시킵니다.

4단계 - 반복

1 ~ 3 단계를 계속 반복합니다.

정리한 내용은 경사 하강법으로 매개변수를 갱신하는 방법이라고 볼 수 있으며, 데이터를 미니 배치로 무작위로 가져오기 때문에 이를 확률적 경사 하강법(stochastic gradient descent, SGD)라고 합니다.

확률적으로 무작위로 골라낸 데이터에 대해 수행하는 경사하강법이라는 의미가 됩니다. 대부분의 딥러닝 프레임워크에서는 SGD라는 함수로 해당 기능을 구현하고 있습니다.

다음 글에서 본격적으로 MNIST 데이터셋을 이용한 2층 신경망(은닉층이 1개인 네트워크)을 구현해 보겠습니다!

지난 시간 손실 함수 Loss Function의 종류에 대하여 알아보았습니다.

2024.01.27 - [Programming/Deep Learning] - [Python/DeepLearning] #8. 손실 함수의 종류(Loss Function)

오늘은 신경망 학습의 마지막 수치 미분과 경사하강법에 대하여 설명해 보도록 하겠습니다!

이번 블로그로는 (상)&(하)로 나눠집니다. (상) 편에서 미분과 편미분에 대하여 설명하며, (하)에서 경사하강법과 신경망에서의 기울기에 대하여 알아보도록 하겠습니다. 

경사법(경사하강법)을 위한 미분

경사법에서는 기울기 값을 기준으로 최적화하기 위한 방향을 결정합니다. 기울기의 성질을 알아보기 앞서 미분을 먼저 살펴보겠습니다.

미분

우리가 트랙에서 달리는 모습을 상상해 보겠습니다.

처음부터 10분 동안 2km씩 달렸다고 가정했을 때 속도는 2(거리) / 10(시간) = 0.2(속도)만큼의 속도(변화)로 뛰었다고 해석할 수 있을 것입니다.

위의 예에서는 달린 거리가 시간에 대해서 얼마나 변화했는지를 계산한 것입니다. 다만 여기에서 10분에 2km를 뛰었다는 이야기는 정확하게는 10분 동안의 평균 속도를 구한 것이죠.

하지만 미분은 '특정 순간'의 변화량을 뜻합니다. 따라서 10분이라는 시간을 최대한 줄여 한 순간의 변화량을 얻는다고 볼 수 있습니다.

이처럼 미분은 한순간의 변화량을 표시한 것입니다.

위 식은 함수의 미분을 나타낸 식입니다.

좌변은 함수 𝑓(𝑥)의 𝑥에 대한 미분(𝑥에 대한 𝑓(𝑥)의 변화량)을 나타낸 기호라고 볼 수 있습니다.

결국, 𝑥의 작은 변화가 함수 𝑓(𝑥)를 얼마나 변화시키느냐를 의미합니다. 이때 시간의 작은 변화, 즉 시간을 뜻하는 ℎ를 한없이 0에 가깝게 한다는 의미를 limℎ→0로 나타내었습니다. 그렇다면 파이썬으로 미분 함수를 구현해 보겠습니다.

h에 최대한 작은 값을 대입해서 다음과 같이 계산이 가능합니다. 참고로 ℎ는 Δ𝑥로도 표현합니다.

import numpy as np

# 미분의 나쁜 구현
def numerical_diff(f, x):
  h = 10e-50 # 0.0000 0이 50개
  return (f(x+h) - f(x)) / h

함수의 이름은 수치 미분(numerical differentiation)에서 따왔습니다.

이 함수는 함수 𝑓와 함수 𝑓에 넘겨질 𝑥를 받아서 실제 미분을 구현하지만, 고쳐야 할 부분들이 약간 있습니다.

위의 예에서는 가능한 한 h에 작은 값을 넣기 위해 10e-50이라는 매우 작은 수를 이용했었는데, 이 방식은 반올림 오차(rounding error) 문제를 일으킵니다. 반올림 오차는 작은 값(보통 소수점 8자리)이 생략되어 최종 계산 결과에 오차가 됩니다.

즉, 너무나 작은 숫자로 나눗셈을 하게 되면, 반올림 오차가 발생하여 컴퓨팅 시스템상 부동소수점 오류가 나게 됩니다.

파이썬에서의 반올림 오차는 보통 다음 상황에서 발생합니다.

np.float32(10e-50)

1000 / np.float32(10e-50)

너무 작은 값을 파이썬에서 소수점으로 나타내면 0.0이 되는 모습을 확인할 수 있습니다. 너무 작은 값을 컴퓨터로 계산하면 문제가 되기 때문에 이 미세한 값 h를 10의 −4제곱 정도로 놓으면 좋은 값을 얻는다고 알려져 있습니다.

그다음 개선할 점은 함수 f의 차분(임의 두 점에서 함숫값들의 차이)에 관련한 것입니다. 

𝑥+ℎ와 𝑥 사이의 함수 𝑓의 차분을 계산하고 있지만, h 자체가 매우 작은 값이기 때문에 애당초 위 계산에는 오차가 있다고 생각해야 합니다.

미분 자체가 어떤 순간 지점(시간(ℎ)이 최대한 0이 되는 지점)의 기울기를 의미하기 때문에 진정한 미분은 𝑥 위치 에서의 함수의 기울기를 이야기해야 하지만, ℎ가 절대 0이 될 수가 없기 때문에 ( 0에 가까워지기는 하지만 ) 컴퓨터를 통한 미분 계산은 언제나 오차를 동반해야만 합니다.

이 오차를 최대한 줄이기 위해 (𝑥+ℎ)와(𝑥−ℎ)일 때의 함수 𝑓의 차분을 계산하는 방법을 사용하기도 합니다. 이 차분은 x를 중심으로 그 전후의 차분을 계산한다는 의미로, 중심 차분 혹은 중앙 차분이라 합니다. 참고로 (𝑥+ℎ)와 𝑥의 차분은 전방 차분이라고도 합니다.

위 두 가지 개선사항을 개선한 후의 미분 함수를 구현해 보겠습니다.

# 좋은 수치미분 구현
def numerical_diff(f, x):
  h = 1e-4 # 0.0001
  return (f(x+h) - f(x-h)) / (2 * h)

• 아주 작은 값을 의미하는 ℎ는 1e-4
• 수학적인 기교를 이용해 컴퓨터를 활용한 미분에서의 나눗셈 오류를 해결할 수 있다 (중앙차분과 전방차분을 활용)

위처럼 아주 작은 차분으로 미분하는 것을 수치 미분이라고 합니다.

수치 미분과 기울기의 관계

위의 미분 함수를 이용해 실제 간단한 함수를 미분해 보겠습니다. 먼저. 다음과 같은 2차 함수가 있다고 가정합니다.

def function_1(x):
  return 0.01*x**2 + 0.1 * x

import numpy as np
import matplotlib.pylab as plt

%matplotlib inline

x = np.arange(0.0, 20.0, 0.1)
y = function_1(x)

plt.xlabel("x")
plt.ylabel("f(x)")
plt.plot(x, y)
plt.show()

이번엔 x가 5와 10일 때의 해당 함수의 미분값입니다.

# x가 5일 때의 미분값과 10일 때의 해당 함수의 미분값 구하기
print("x가 5일 때 미분 값 : {}".format(numerical_diff(function_1, 5)))
print("x가 10일 때 미분 값 : {}".format(numerical_diff(function_1, 10)))

def tangent_line(f, x):
    d = numerical_diff(f, x)
    y = f(x) - d*x
    return lambda t: d*t + y

fig, axes = plt.subplots(1,2, figsize=(20,8))

x = np.arange(0.0, 20.0, 0.1)
y = function_1(x)
axes[0].set_xlabel("x")
axes[0].set_ylabel("f(x)")

tf = tangent_line(function_1, 5)
y2 = tf(x)

axes[0].plot(x, y)
axes[0].plot(x, y2)
axes[0].set_title("x = 5")

axes[1].set_xlabel("x")
axes[1].set_ylabel("f(x)")

tf = tangent_line(function_1, 10)
y2 = tf(x)

axes[1].plot(x, y)
axes[1].plot(x, y2)
axes[1].set_title("x = 10")
plt.show()

해당하는 위치(x)에서의 접선이 그려지는 것이 확인됩니다.

편미분

한쪽 변수 방향으로만 미분하는 것입니다. 다른 쪽 변수는 상수로 취급합니다.

인수들이 1개가 아닌, 2개 이상의 인수가 있는 상황에서 의 미분은 편미분을 통해 해결할 수 있습니다. 다음 식을 확인해 보겠습니다.

def function_2(x):
    return x[0]**2 + x[1]**2

from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D
fig = plt.figure(figsize=(10,8))
ax = fig.add_subplot(111, projection='3d')

X0 = np.arange(-3, 3, 0.05)
X1 = np.arange(-3, 3, 0.05)

X0, X1 = np.meshgrid(X0, X1)
Z = function_2([X0,X1])

ax.plot_wireframe(X=X0, Y=X1, Z=Z,rstride=10, cstride=10)
ax.set_xlabel('x0')
ax.set_ylabel('x1')
ax.set_zlabel('f(x)')
plt.show()

1. 미분을 함에 있어서 고려해야 할 방향이 2개
   • 𝑥0, 𝑥1 방향으로 고려
2. 둘 중 하나의 방향으로만 미분을 수행 -> 편미분
   • 𝑥0의 미분을 수행할 때는 𝑥1을 상수처럼 취급 ∂𝑓 / ∂𝑥0
   • 𝑥1의 미분을 수행할 때는 𝑥0을 상수처럼 취급 ∂𝑓 / ∂𝑥1

 

𝑥0=3, 𝑥1=4일 때 𝑥0에 대한 편미분 ∂𝑓 / ∂𝑥0을 구하는 코드를 구현

변수가 두 개인 함수의 미분은 '어느 변수에 대한 미분이냐'를 따져줘야 합니다.

즉, 𝑥0, 𝑥1 중 어느 변수에 대한 미분이냐를 구별해야 한다고 생각할 수 있는데요, 이와 같이 변수가 여럿인 함수에 대한 미분을 편미분이라고 합니다.

수식으로는 ∂𝑓 / ∂𝑥0 또는 ∂𝑓 / ∂𝑥1 처럼 표현합니다. 연습 삼아 편미분 문제를 풀어보겠습니다. 

𝑥0=3, 𝑥1=4 일 때 𝑥0에 대한 편미분 ∂𝑓∂𝑥0를 구하는 코드를 구현해 보겠습니다.

def function_tmp1(x0):
  return x0 ** 2 + 4.0 ** 2

numerical_diff(function_tmp1, 3.0)

다음은 𝑥0=3, 𝑥1=4 일 때 𝑥1에 대한 편미분 ∂𝑓 / ∂𝑥1를 구하는 코드를 구현해 보겠습니다.

def function_tmp2(x1):
  return 3.0 ** 2 + x1 ** 2

numerical_diff(function_tmp2, 4.0)

위의 문제를 풀기 위해 변수가 하나인 함수를 정의했으며, 그 함수를 미분하는 형태로 구현하여 풀어보았습니다.

가령, 𝑥1=4로 고정된 새로운 함수를 하나 정의하여 변수가 𝑥0 하나뿐인 함수에 대해 수치 미분(numerical_diff)을 적용시킵니다. 이처럼 편미분은 변수가 하나인 미분과 마찬가지로 특정 장소의 기울기를 구해낼 수 있습니다.

단, 여러 변수 중 목표 변수 하나에 초점을 맞추고 다른 변수는 값을 고정합니다(상수처럼 활용).

앞의 예에서는 목표 변수를 제외한 나머지를 특정 값에 고정하기 위해서 새로운 함수인 function_tmp1, function_tmp2를 정의한 것이지요! 그리고 그 새로 정의한 함수에 대해 그동안 사용한 미분값을 적용시켜 편미분을 구한 것입니다.

기울기에 대하여

앞서는 𝑥0와 𝑥1의 편미분을 변수별로 따로 계산해 봤습니다.

그렇다면 𝑥0와 𝑥1의 편미분을 동시에 계산하고 싶으면 어떻게 해야 할까요?

위의 문제처럼 𝑥0=3, 𝑥1=4일 때 (𝑥0,𝑥1) 양쪽의 편미분을 묶어서 (∂𝑓 / ∂𝑥0, ∂𝑓 / ∂𝑥1)을 계산한다고 생각해 볼 수 있습니다. (∂𝑓 / ∂𝑥0, ∂𝑓 / ∂𝑥1)처럼 모든 변수의 편미분을 벡터로 정리한 것을 기울기(gradient)라고 합니다.

기울기를 구하는 예를 구현해 보겠습니다.

𝑥0과 𝑥1 각각의 편미분 결과를 (∂𝑓 / ∂𝑥0, ∂𝑓 / ∂𝑥1)로 정리한 것을 기울기(gradient)라고 한다.

# 기울기를 구하는 코드 - 각각의 편미분을 배열로 만든다.
def numerical_gradient(f, x):
  h = 1e-4
  # 기울기를 저장할 배열
  grad = np.zeros_like(x) # x와 형상(shape)이 같은 배열을 생성

  for idx in range(x.size):
    # x의 값을 idx에 맞게 하나씩 빼온다.
    tmp_val = x[idx]

    # 각 좌표에서의 미분을 수행 -> 편미분

    # 1. f(x+h) 계산
    x[idx] = tmp_val + h
    fxh1 = f(x)

    # 2. f(x-h) 계산
    x[idx] = tmp_val - h
    fxh2 = f(x)

    # 3. 기울기 계산해서 grad 배열에 저장 ( 미분 수행 )
    grad[idx] = (fxh1 - fxh2) / 2*h

    # x[idx]를 원래 값으로 복구
    x[idx] = tmp_val

  return grad

numerical_gradient 함수가 약간 복잡하게 생기긴 했지만 간단하게 생각해 보면 인자로 들어온 모든 x의 값(배열)에 대한 함수 f를 미분한 코드입니다. 위 함수를 이용하면 인자가 몇 개가 들어오든 모든 기울기를 벡터로 나타내는 배열을 확인할 수 있습니다.

result = numerical_gradient(function_2, np.array([3.0, 4.0]))
print("x = [3, 4] 일 때의 기울기 배열 : {}".format(result))

result = numerical_gradient(function_2, np.array([0.0, 2.0]))
print("x = [0, 2] 일 때의 기울기 배열 : {}".format(result))

result = numerical_gradient(function_2, np.array([3.0, 0.0]))
print("x = [3, 0] 일 때의 기울기 배열 : {}".format(result))

이처럼 (𝑥2,𝑥1)의 각 점에서의 기울기를 계산할 수 있습니다. 각 값별 기울기를 시각적으로 확인해 보겠습니다.

# coding: utf-8
# cf.http://d.hatena.ne.jp/white_wheels/20100327/p3
import numpy as np
import matplotlib.pylab as plt
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D


def _numerical_gradient_no_batch(f, x):
    h = 1e-4 # 0.0001
    grad = np.zeros_like(x) # x와 형상이 같은 배열을 생성
    
    for idx in range(x.size):
        tmp_val = x[idx]
        
        # f(x+h) 계산
        x[idx] = float(tmp_val) + h
        fxh1 = f(x)
        
        # f(x-h) 계산
        x[idx] = tmp_val - h 
        fxh2 = f(x) 
        
        grad[idx] = (fxh1 - fxh2) / (2*h)
        x[idx] = tmp_val # 값 복원
        
    return grad


def numerical_gradient(f, X):
    if X.ndim == 1:
        return _numerical_gradient_no_batch(f, X)
    else:
        grad = np.zeros_like(X)
        
        for idx, x in enumerate(X):
            grad[idx] = _numerical_gradient_no_batch(f, x)
        
        return grad


def function_2(x):
    if x.ndim == 1:
        return np.sum(x**2)
    else:
        return np.sum(x**2, axis=1)


def tangent_line(f, x):
    d = numerical_gradient(f, x)
    print(d)
    y = f(x) - d*x
    return lambda t: d*t + y
     
if __name__ == '__main__':
    x0 = np.arange(-2, 2.5, 0.25)
    x1 = np.arange(-2, 2.5, 0.25)
    X, Y = np.meshgrid(x0, x1)
    
    X = X.flatten()
    Y = Y.flatten()
    
    grad = numerical_gradient(function_2, np.array([X, Y]) )
    
    plt.figure()
    plt.quiver(X, Y, -grad[0], -grad[1],  angles="xy",color="#666666")
    plt.xlim([-2, 2])
    plt.ylim([-2, 2])
    plt.xlabel('x0')
    plt.ylabel('x1')
    plt.grid()
    plt.draw()
    plt.show()

기울기에 대한 그림은 위처럼 방향을 가진 벡터(화살표)로 그려집니다.

이 그림을 보면 기울기는 함수의 '가장 낮은 장소(최솟값)'를 가리키는 것 같습니다. 한 점을 향하고 있는 것이 확인되는데요, 또한 가장 낮은 곳에서 멀어질수록 화살표의 크기가 커지는 것도 확인이 가능합니다.

중요한 것은 기울기 자체는 가장 낮은 장소를 가리키고 있으나, 실제는 반드시 그렇다고는 할 수 없습니다.

사실 기울기는 각 지점에서 낮아지는 방향을 가리키는데요, 더 확실히 말하자면 기울기가 가리키는 쪽은 각 장소에서 함수의 출력 값(결괏값)을 가장 크게 줄이는 방향입니다. 확실히 기억해야 합니다.

지금까지 경사하강법을 위한 미분과 편미분을 알아보며 준비를 하였습니다. 다음 블로그에서는 경사법(경사하강법)의 원리와 신경망에서의 기울기에 대한 신경망 학습을 알아보도록 하겠습니다.